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hherreri@platon.ugr.es fpalacio@platon.ugr.es callejon@platon.ugr.es

ABSTRACT: The aim of this paper, within the statistics teaching, is to show a new methodology to analyze the stochastic relation between random variables. The proposed methodology doesn’t need the marginal distributions (saving the difficulties to obtain them) becoming to be much shorter and easier to carry on than the usual known one. You can obtain all the stochastic interdependence between the components of a random vector only using a simple analysis of the derivative of the logarithm of the density function (continuous case) or of the ratio between two values of the probability function (discrete case).

Consequently, from a didactic point of view, due to the simplicity of such method, we have a helpful tool when teaching students to check the stochastic dependence or independence between random variables.

It is interesting that statistics teachers have knowledge of these researching results in order that they can use this new approach in their teaching classrooms.

KEYWORDS: Teaching independence of random variables, stochastic relation between random variables, generator functions system.

El concepto de dependencia estocástica entre dos o más variables aleatorias es el fundamento de la relación no determinista entre las variables de cualquier ciencia social, biológica e incluso de la física a nivel de partículas elementales donde el determinismo ha sido superado. Es pues el cimiento de todas las ciencias que han abandonado el determinismo como base filosófica de su metodología.

Es esencial, cuando se estudia la relación estocástica entre variables aleatorias, en la enseñanza del cálculo de probabilidades, que la cuestión quede bien clara y que el alumno sea capaz de aprehender el concepto con una panoplia extensa de ejemplos de variables aleatorias bidimensionales (multidimensionales) en las que se le pueda mostrar de forma sencilla si las dos (o más) variables pueden considerarse estocásticamente independientes, o si por el contrario existe relación entre ellas y pueden por tanto constituir una ley dentro de la ciencia de la que pudiera proceder el modelo propuesto.

La forma más racional de abordar la relación estocástica entre variables en niveles de enseñanza superior, es mediante la distribución condicionada. La igualdad de todas las distribuciones condicionadas y de la distribución marginal, por una parte, lleva intuitivamente al concepto de independencia estocástica, y por otra a la condición general de independencia a través del producto de las distribuciones marginales. Esta condición general de independencia se ha convertido en el instrumento básico para el estudio de la dependencia o independencia estocástica, constituyendo incluso la propia definición de independencia en muchos libros de texto.

La aplicación de la condición general de independencia exige el cálculo de dos (o más) factores que permitan reconstruir la distribución conjunta mediante el producto de los mismos. Estos se obtienen de la propia distribución conjunta bien por suma, en el caso discreto, bien mediante integración en el caso continuo. En ambos casos puede constituir un grave problema averiguar si dos variables aleatorias son estocásticamente dependientes o independientes, produciendo en el alumno una sensación de dificultad que es totalmente imputable a la herramienta de cálculo, pero que él adjudica al propio concepto, cerrándose al mismo y cercenando un aspecto básico de su conocimiento sobre la relación no determinista entre variables, y en definitiva renunciando a uno de los principales pilares filosóficos de su propia ciencia.

El presente trabajo muestra una metodología, muy sencilla, para comprobar si dos o más variables aleatorias son estocásticamente dependientes o no. Metodología que podría incorporarse a los libros de texto constituyendo un enfoque complementario que potencia el estudio de dicho tema. Razón que ha animado a los autores del trabajo a concurrir en este foro.

Mediante algunos ejemplos comprobaremos la sencillez del método en contraste con el camino habitual bastante más largo y dificultoso.

La demostración matemática de los resultados que aquí presentamos, se omitirá por dos razones. En primer lugar, se considera objetivo primordial mostrar la aplicabilidad de los mismos al campo de la enseñanza de la Estadística y, por tanto, es preferible cubrir el espacio disponible centrando la atención del lector en destacar dicha aplicabilidad. La segunda razón es que dichas demostraciones se encuentran en los trabajos, ya publicados, de Herrerías, R; Palacios, F y Callejón, J (1997 y 1998) recogidos en la bibliografía.

Sea la función de densidad conjunta de dos variables aleatorias tales que el rango de una variable no depende del valor de la otra. Una condición necesaria y suficiente para que ambas variables sean independientes, es que se verifique

Bajo los mismos supuestos del teorema 1, la condición necesaria y suficiente para que dos variables aleatorias sean independientes es que

sea una expresión analítica en la que no interviene la variable x, o equivalentemente,

sea una expresión analítica en la que no interviene la variable y.

Sea (X,Y) la variable aleatoria bidimensional cuya función de densidad conjunta es:

Entonces

y puesto que la derivada parcial, con respecto a x, del logaritmo de la función de densidad, sí depende de y, las variables aleatorias X e Y son dependientes.

NOTA. Sugerimos al lector que resuelva este ejemplo utilizando la metodología habitual, calculando las integrales oportunas. El lector se percatará del ahorro (en tiempo, trabajo y conocimientos previos) obtenido con el método propuesto.

Sea (X,Y) la variable aleatoria Normal bivariante. Su función de densidad conjunta es:

entonces

derivada que no depende de la variable "" cuando y sólo cuando sea cero.

Por tanto, las variables aleatorias son independientes sí y sólo si .

Obsérvese que si , la segunda derivada parcial cruzada vale cero:

Los resultados anteriores y los que presentaremos sucintamente, a continuación, son producto del estudio de los sistemas de generación de distribuciones Callejón, J. (1995), cuyos antecedentes pueden encontrarse en el sistema de Pearson desarrollado en Elderton, W.P. y Johnson, N.L. (1969) y Johnson, N.L. y Kotz, S. (1972). Los sistemas de generación de distribuciones continuas bivariantes fueron introducidos por Uven, M.J. van (1948) y para el caso discreto por Ord, J.K. (1967). Desarrollos posteriores son debidos a Fajardo, M.A. (1985), Herrerías, R. Y Calvete, H. (1985).

Para el caso continuo un sistema generador de una distribución de probabilidades multivariante (Callejón, J. 1995) es un conjunto de n funciones de Rⁿ en R que cumple la condición

Se verifica que es la función de densidad multivariante generada por el sistema anterior si y solo si

donde representa la componente i del vector y

representa la distribución unidimensional de la variable condicionada a las restantes del vector

El vector está compuesto por variables mutuamente independientes si y sólo si su sistema de generadoras es tal que es función que depende exclusivamente de la componente de . Tal afirmación significa que

es exclusivamente función de que a su vez equivale a

Supongamos tres variables aleatorias con función de densidad conjunta

para dicha función de densidad se tiene que

y por tanto estas tres variables no son mutuamente independientes.

Relaciones parciales de dependencia o independencia entre variables pueden estudiarse mediante condiciones análogas a las establecidas en el teorema 2. Obsérvese que el sistema de generadoras de esta distribución es

La segunda función generadora del sistema sólo depende de la segunda variable y dicha variable no aparece en las otras dos funciones generadoras. Esto significa que la variable y es independiente de las otras dos.

Todas las relaciones de dependencia entre las componentes de un vector de variables aleatorias (incluida la dependencia condicional definida por David A.P. 1979), quedan reflejadas en su sistema de generadoras. Información más abundante al respecto puede encontrarse en Herrerías, R.; Palacios, F. Y Callejón, J. (1998).

Sea la distribución normal k-variante, cuya función de densidad es

, (Johnson, N. and Kotz, S. 1972), siendo la matriz inversa de la matriz de covarianzas.

Es evidente que

,

donde, como consecuencia, son las funciones generadoras de la distribución. Por tanto

1. Las componentes del vector aleatorio son mutuamente independientes si y sólo si para todo i, la función sólo depende de la componente , es decir si lo que equivale a que la matriz de covarianzas es diagonal.
2. Para que una variable sea independiente de las restantes, ha de ser función sólo de, y, a la vez, esta no aparece en las restantes funciones generadoras; los coeficientes de correlación parcial, , de esta variable con cualquiera otra variable son cero.

El estudio de la dependencia e independencia de variables aleatorias discretas admite un cierto paralelismo con el que ya se ha presentado para continuas. En efecto, sustituyendo la diferencial continua por la diferencia finita se puede asimilar el cociente al cociente, obteniendo así análogos resultados que en el caso continuo. Algunos de ellos, con sus respectivos ejemplos se presentan a continuación.

Una condición necesaria y suficiente para que dos variables discretas X e Y con puntos de salto x_r e y_s y probabilidades de salto sean independientes es

donde es el operador diferencia de primer orden (por ejemplo, ).

COROLARIO 3.1

Bajo los mismos supuestos del teorema 3, una condición necesaria y suficiente para que dos variables aleatorias discretas sean independientes es que el cociente sea independiente de s o equivalentemente que el cociente sea independiente de r.

Sean X e Y variables aleatorias discretas con distribución conjunta Binomial negativa bivariante (Mardia, K.V. 1970)

el cociente mencionado en el corolario 3.1, para esta distribución es

este cociente depende de s y nos permite concluir que las dos variables son estocásticamente dependientes.

Sean X e Y Variables aleatorias discretas con distribución conjunta Hipergeométrica bivariante (Mardia, K.V. 1970)

el cociente mencionado en el corolario 3.1, para esta distribución es

este cociente depende de s y nos permite concluir que las dos variables son estocásticamente dependientes.

La asociación entre variables aleatorias y las relaciones de dependencia e independencia estocástica entre las mismas queda totalmente reflejada, de forma analítica, en el sistema de funciones generadoras de la distribución que, en el caso continuo, se obtiene fácilmente mediante simple derivación del logaritmo de la función de densidad conjunta y en el discreto mediante cocientes. Incluso se puede prescindir del concepto de sistema generador de una distribución para formular las condiciones generales de independencia, aprovechando sin embargo la sencillez de la herramienta que proporcionan.

El fundamento de las leyes básicas de cualquier ciencia no determinista es la dependencia estocástica entre variables aleatorias.

Este trabajo muestra un instrumento sencillo para el análisis de dichas relaciones de dependencia estocástica.

Todo alumno que inicia su andadura en el indeterminismo y el estudio del azar ha de tener conocimiento profundo sobre la relación estocástica entre variables aleatorias y disponer del mejor instrumento posible que permita el análisis de estas relaciones. Considerando que es un tema tratado con frecuencia muy superficialmente reivindicamos una mayor atención al tema dado que es uno de los pilares filosóficos de la metodología de cualquier ciencia.

El objeto de este trabajo ha sido doble:

a) por una parte se ha querido destacar la importancia que tiene para nuestros alumnos de enseñanza superior la relación estocástica entre variables aleatorias como base de formulación matemática de las leyes propias de su disciplina.

b) Por otra, se ha presentado un instrumento que facilita enormemente el análisis de tales relaciones el cual proponemos sea incluido en los manuales de enseñanza. Dependiendo de los objetivos del propio manual se pueden incluir sólo los resultados a utilizar como herramienta o en su totalidad si este manual pretende que en alumno profundice en el estudio del Cálculo de Probabilidades y de las relaciones estocásticas entre variables aleatorias.

CALLEJÓN, J. (1995). Un nuevo método para generar distribuciones de probabilidad. Problemas asociados y aplicaciones Tesis Doctoral. Universidad de Granada. ETD Micropublicaciones S.L.

DAVID, A.P. (1979). Conditional Independence in Statistical Theory. Journal Royal Statistical Society B,41,Nº 1,1-31

ELDERTON, W.P. Y JOHNSON, N.L. (1969) System of frequency curves. Cambridge University Press.

FAJARDO, M.A. (1985). Generalizaciones de los sistemas pearsonianos discretos. Tesis doctoral. Universidad de Extremadura.

HERRERÍAS, R. y CALVETE, H. (1985). Un sistema de distribuciones discretas bivariantes. Estadística Española, 109, 15-28.

HERRERÍAS, R.; PALACIOS, F.; CALLEJÓN, J. (1997). A New Condition to Check the Independence of Random Variables. Communications in statistics Theory and Methods 26(2), 421-428.

HERRERÍAS, R.; PALACIOS, F.; CALLEJÓN, J. (1998). Using Generator Functions to Check Independence of Random Variables. Communications in statistics Theory and Methods 27(5), 1211-1219.

JOHNSON, N.L. and KOTZ, S (1972). Distributions in Statistics: Continuous multivariate distributions. Wiley.

MARDIA, K.V. (1970). Families of bivariate distributions. Griffin. London

ORD, J.K. (1967). On a system of discrete distributions. Biometrika, 54, 649-656.

UVEN, M.J. van. (1947 - 48). Extensions of Pearson's probability distributions to two variable. Proceedings of the Royal Academy of Sciences. Amsterdam, 50, 1063-1070 y 1252-1264; 51, 41-52 y 191-196.