Artigo selecionado e apresentado

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ABSTRACT: This paper proposes that the teaching of probability for students of high school must start from direct contact with concrete matters, in which the observation of reality remains the principal motivation leading to the study of more complex ideas. It is also believed that the role of science history in the teaching of probability can contribute to lessen the difficulties normally faced up by students. It is described an example of a game that can be used during probability classes and how the teacher may get advantage of it to introduce concepts of tree of possibilities. The frequentist approach to probability is enlightened.

KEYWORDS: teaching, probability, frequentist approach, games.

O ensino de estatística e probabilidade, em qualquer nível de aprendizagem, promove a oportunidade de discussão no ramo da matemática de algumas das características mais pertinentes do mundo em que vivemos e, por sua vez, são essas características que alimentam o desenvolvimento da área. Assim é desde o seu início. A demora na chegada da teoria da probabilidade, contudo, permanece como um dos enigmas da história da ciência. Apesar de muitas controvérsias, uma das razões que podem explicar o demorado surgimento da teoria propriamente dita é que somente no século dezessete houve o estabelecimento de uma necessidade social fomentada pelo começo das seguros e anuidades, apenas no século dezoito desenvolveram-se teorias de medidas e não antes do século dezenove dados e experimentos biológicos, assim como a mecânica estatística, tinham tomado corpo.

Vencidas as dificuldades iniciais, a visão do mundo estocástico permitiu a adoção de um ponto de vista no qual a aleatoriedade é percebida como um aspecto fundamental, objetivo e real, sendo a utilização dos métodos da teoria da probabilidade necessária para reduzir o caos de um único e imprevisível evento a um padrão mais previsível.

Apesar de evidenciada a existência de um mundo estocástico, a percepção do significado primário desta estocastização ainda tem permanecido evasiva e controversa. Os estudantes, ao se depararem pela primeira vez com esta visão, o que geralmente ocorre no ensino médio, enfrentam um confronto natural com o raciocínio determinístico adotado até então. O fato é que não se tem aprendido a viver no mundo tal como ele é, simultaneamente estocástico e determinístico, razão pela qual deveria ser enfatizada a complementaridade ao invés da oposição para descreve melhor a relação entre os fenômenos desde ciclos mais iniciais.

Como atualmente é sugerido pela reforma curricular por que passou o ensino fundamental e o ensino médio, a escola deve sempre estar relacionada com o mundo a sua volta e com todas as faculdades dos estudantes. Iniciando-se do contato direto de problemas concretos, é possível conduzir idéias mais abstratas, ou seja, partindo-se da observação da realidade alcança-se o estudo de teorias mais gerais. Longe de estar confinado à esfera escolar, é necessário incorporar a maior variedade possível das realidades humanas, particularmente dos diferentes ramos de atividade.

Conforme aponta TROMPLER (1982), o ensino de probabilidade e estatística em ciclos anteriores à graduação é de fundamental relevância porque representa uma maneira de pensar, desconhecida em outros ramos da matemática, embora subjacente em todas as ciências experimentais. Confronta o estudante com resultados menos absolutos do que este está acostumado, mostra que ele pode conduzir um rigoroso raciocínio mesmo sabendo que está cometendo erros e o ensina a como enfrentar tais erros. Humaniza a matemática pela ligação a problemas do cotidiano, já que relaciona ciências experimentais, naturais, econômicas e sociais de todos os tipos, como ferramentas de trabalho, à matemática.

O objetivo deste trabalho consiste, portanto, em sugerir a utilização de jogos e problemas cotidianos para introduzir o tema da probabilidade no ensino médio, com ênfase na interpretação frequentista, a qual pressupõe a exploração do conceito intuitivo de limite. Acredita-se que tal procedimento possa tornar mais dinâmico o processo ensino-aprendizagem de probabilidade e, conjuntamente, colaborar para a construção do pensamento crítico dos estudantes.

Afim de desenvolver este trabalho, revela-se de grande importância o estudo dos aspectos subjacentes à didática propriamente dita do ensino médio, uma vez que estes valores serão determinadores do processo ensino - aprendizagem. Tais valores configuram o que se chama de projeto pedagógico, que, por sua vez, representa um conjunto de princípios orientadores do planejamento, vigentes até o momento em que não mais respondam às exigências da sociedade em transformação.

Existe mais confusão do que consenso no que se refere ao papel de exemplos intuitivos no programa e pedagogia da probabilidade. No entanto, se crê possível que o uso inteligente de uma fonte natural de exemplos intuitivos sustenta a pedagogia construtivista, tão propalada na reforma educacional, por meio do fornecimento de conhecimento de crenças a priori dos estudantes, engajando tais crenças para resultar num entendimento mais profundo e sustentando o papel do professor como um facilitador.

Desta forma, usou-se como suportes a psicologia cognitiva de Piaget, citado por KESSELRING (1993), e a psicologia do desenvolvimento segundo a teoria de DIENES (1972) sobre aprendizagem em matemática.

Conforme Piaget, no primeiro e mais importante trabalho sobre psicologia cognitiva , ao estudar a natureza e as condições da gênese das idéias do acaso e probabilidade elementar, coloca-se em evidência uma estreita relação entre a formação destes conceitos e as operações formais. Assim, sejam os seguintes estados:

• sensori-motor ( 4 a 7 anos aproximadamente) Ü a criança não está pronta para comparar a chance de ocorrência de diversos eventos aleatórios. Elas não possuem, ainda, nenhuma medida intuitiva de probabilidade;
• das operações concretas ( 7 a 11 anos aproximadamente) Ü a criança já tem capacidade para estabelecer certos tipos de comparações entre as probabilidades recíprocas de eventos. Existe a diferenciação entre as operações ( associadas ao domínio do dedutível) e o acaso ( associado ao domínio do imprevisível);
• das operações formais ( 11 – 12 anos em diante) Ü já existe na criança uma assimilação do acaso às operações formais e aparece o julgamento de probabilidade, a construção dos sistemas de análise combinatória, permitindo determinar o conjunto de casos possíveis, e o acesso ao raciocínio proporcional.

A designação operações formais pretende indicar que alunos do ensino não pensam apenas operatoriamente, mas avançam em direção a raciocínios formais e abstratos sendo assim já se faz possível o ensino da probabilidade que necessita de um raciocínio abstrato e lógico que não se encontra completamente formado nas etapas anteriores a este nível de desenvolvimento.

Piaget aponta que a partir do estágio das operações formais conclusões dedutivas podem ser formuladas baseadas em determinadas premissas, que necessitam de comprovação mediante experiências ou experimentos adequados.

Em tarefas combinatórias não se trata de classificar objetos de acordo com características externas, mas ensejar todas as possibilidades pelas quais os elementos de uma dada coleção possam ser classificados. A combinatória é uma classificação de todas as classificações que podem ser efetuadas com os objetos de uma dada coleção.

Num dos experimentos de Piaget, apresentava-se uma série de frascos contendo líquidos inodoros e incolores, que diferenciavam-se quanto à substância química. Determinada combinação de três líquidos fazia com que surgisse uma coloração amarela, a qual, pelo acréscimo de um quarto de líquido, era levada novamente a desaparecer. Os sujeitos da experiência deveriam descobrir as combinações correspondentes mediante experimentações sistemáticas. Crianças mais novas não chegavam à idéia de misturar mais de dois líquidos sem logo misturarem entre si todos eles. Mas, os sujeitos da experiência com a idade de onze anos ou mais descobriram um método sistemático, misturando primeiro os líquidos de dois e depois de três frascos e assim por diante.

Validando a utilização de atividades práticas realizadas a partir de jogos e situações retiradas do ambiente natural dos estudantes em sala de aula, de forma a estimular respostas, cita-se a teoria de Dienes sobre as seis etapas do processo de aprendizagem em matemática. As etapas são:

Tomando como base os estudos de HENRY (1994), que partem de uma compreensão do espírito dos programas de segunda série de segundo grau francês, preconiza-se a visão frequentista da probabilidade, evitando-se, porém, qualquer desenvolvimento teórico. Pelo programa francês, citado por COUTINHO (1994), tem-se que o objetivo é preparar o aluno para descrever algumas experiências aleatórias simples e calcular suas probabilidades. Evita-se todo o desenvolvimento teórico. Para introduzir a noção de probabilidade, a base de apoio será o estudo das séries estatísticas, obtidas pela repetição de experiência aleatória, sublinhando as propriedades das frequências e a estabilidade da frequência relativa de um evento, quando esta experiência é repetida um grande número de vezes. É imprescindível insistir na necessidade de grandes números de repetições, de maneira a evitar a criação de uma crença cega em estatística nos estudantes.

Com o uso da álgebra, o estudo da multiplicação de polinômios resulta possibilidades de se enriquecer o trabalho de manipulação da probabilidade como problema de senso comum. Para alguns problemas mais intrincados, conforme aponta TROMPLER (1982), as respostas dos alunos podem se basear em raciocínios errôneos, mas que podem ser corrigidos pela descrição das várias possibilidades por meio de árvores de eventos.

Notadamente, o ensino da probabilidade no 2^o grau suscita, neste caso não apenas por parte dos estudantes, reações de contrariedades mais contundentes que outros ramos da matemática. Não é intenção deste trabalho buscar em sua totalidade as causas para este comportamento, mas antes de tudo estudar ferramentas didáticas que possam auxiliar a minimizar os efeitos negativos deste tipo de abordagem ante o problema.

Conforme BORDIER (1991) advoga, o relato da história das probabilidades destaca as dificuldades prováveis no seu ensino e como se deram as suas soluções. Se os matemáticos que contribuíram com a criação e o desenvolvimento da teoria encontraram dificuldades, pode-se presumir, sem grande risco, que o mesmo aconteça com alunos e professores. Assim, uma análise retrospectiva dessas dificuldades pode servir como elemento de motivação em sala de aula, uma vez que diminui a resistência usualmente encontrada diante do assunto.

Paralelamente, a citação cronológica de fatos históricos também pode ser utilizada para contextualizar os estudantes na evolução científica, na qual uma teoria não se constituiu em um fato isolado ou fragmentado de outros ramos da ciência e da sociedade. Inúmeros expoentes, tais como Pascal, Laplace e Fermat, podem ser citados como exemplos interessantes para realizar incursões na história da matemática e nas ligações matemáticas com outros ramos do saber.

Tanto no passado como no presente e até mesmo no futuro, as aplicações da teoria das probabilidades devem ser citadas em sala de aula com o objetivo de despertar o interesse do aluno, mostrando de quantas e quais maneiras a probabilidade pode ser utilizada no cotidiano. Uma abordagem interessante ao estudante do ensino médio, que dentre em pouco prestará exames vestibulares e definirá uma carreira, consiste em apresentar diferentes aplicações das probabilidades nos diversos ramos da ciência.

Referências sobre probabilidades nos seguros (ciências atuariais), teoria dos erros experimentais, lei de Maxwell, mecânica quântica (física e química), controle da qualidade industrial (engenharia), genética (biologia), pesquisa de mercado (marketing), dentre outros exemplos, representam um manancial para a introdução ao estudo de fenômenos aleatórios.

De acordo com a abordagem frequentista, a utilização de jogos em sala de aula pode se tornar uma maneira eficaz de familiarizar o aluno com o mundo probabilístico. Experiências com materiais, tais como peões, moedas, bolas de gude, baralho, dados, urnas e bolas ou mesmo exemplos com jogos de loteria e jogo do bicho, são aconselháveis por fazerem uma correspondência simples e direta do ensino com o cotidiano. Tais experiências traduzem modelos espontâneos dos alunos e as dificuldades neles encontradas podem ajudar a transpor obstáculos de ordem epistemológica, que residem nos aspectos básicos e de valores constitutivos do conhecimento.

COUTINHO (1994) propõe três preceitos globais para a orientação da escolha de jogos que podem ser utilizados no ensino médio:

• construção dos primeiros conceitos de estabilização de frequência relativa, por meio de atividades práticas comparativas, tais como o lançamento de uma moeda duas vezes consecutivas;
• busca de modelos matemáticos que visem uma resolução qualitativa com o objetivo de atingir conceitos mais complexos;
• limitação da complexidade ao nível da análise combinatória, ou seja, a utilização de problemas de contagem que possam ser solucionados pelo aluno com o auxílio de uma árvore de possibilidades, sem a necessidade de raciocínios que possam aumentar a dificuldade do problema em questão.

Como ilustração, vale a pena descrever um conhecido jogo que sempre suscita a participação em aula (SILVA FILHO, 1999). Trata-se da história de um príncipe que se revoltou contra o seu astrólogo e suas promessas vãs, e resolveu executá-lo. No entanto, como bom príncipe, ele resolveu dar uma última chance ao astrólogo. O astrólogo estava autorizado a repartir quatro bolas, duas brancas e duas pretas, entre duas urnas. O carrasco escolheria uma destas urnas e tiraria uma bola: se a bola fosse preta, o astrólogo seria executado, senão sua vida estava salva. Pergunta-se, então: como o astrólogo deveria colocar as bolas nas urnas, de forma a ampliar suas chances de sobreviver?

Os alunos devem , então, sugerir sugestões diferentes, visando maximizar as chances do astrólogo. As alternativas são:

1. O astrólogo coloca duas bolas em cada urna: nesta situação, munido de material didático, o professor demonstra aos alunos que as probabilidades são equiprováveis e iguais a 1/2.
2. O astrólogo coloca uma bola preta dentro de uma urna e duas brancas e uma preta em outra: nesta situação, o professor demonstra que as probabilidades de ter a vida salva são de 1/3.
3. O astrólogo coloca uma bola branca dentro de uma urna e duas pretas e uma branca em outra: nesta situação, as probabilidades de ter a vida salva são de 2/3.

A escolha do astrólogo pela terceira alternativa torna-se óbvia. Neste momento, já captado o interesse dos alunos, o professor pode sugerir que o mesmo exercício seja realizado aumentando-se o número de bolas para 3, 4, …

Feito isso, deduz-se uma fórmula genérica do cálculo da probabilidade do astrólogo viver para um valor n qualquer de bolas, através de manipulações algébricas:

P_n =

Portanto, partindo de um exercício lúdico, o professor pode trabalhar com noções intuitivas dos alunos e introduzir o mecanismo de árvore de eventos.

A abordagem frequentista no ensino médio é plenamente justificável, considerando-se que a maioria dos alunos já utilizou intuitivamente o conceito de frequência relativa no seu dia a dia, mesmo sem o conhecimento teórico de probabilidade.

As situações e atividades a serem utilizadas devem ser relatadas de forma simples, evitando-se colocar situações ou jogos que necessitem de um refinamento matemático mais complexo. O principal objetivo destas situações é estimular o uso de uma pedagogia que tenha como ponto de partida a realidade e as atividades práticas. Após a compreensão das atividades e de suas estruturas, os conceitos matemáticos nelas inseridos podem ser apresentados de maneira formal, procurando trabalhar em cima dos preceitos da psicologia do desenvolvimento e das seis etapas da aprendizagem em matemática.

Ressalta-se ainda como objetivo destas situações retificar conceitos mal interpretados ao se confrontar os alunos com a realidade. As situações em si não constituem um programa inicial de probabilidade. Deve-se utilizar, em paralelo com as atividades, material teórico apropriado, que possua referencial histórico e aplicações das probabilidades no cotidiano.

É importante frisar que o ensino da probabilidade no segundo grau pode se constituir em um poderoso instrumento social, na medida em que pode permitir ao estudante uma melhor compreensão das estatísticas oficiais, tornando-o capacitado a exercer mais conscenciosamente sua cidadania.

BORDIER, J., Un Modéle Didactique Utilisant la Simulation sur Ordinateur pour l’Enseignementde la Probabilité, Tese de Doutorado, Paris VII, 1991.

COUTINHO, C., Introdução ao Conceito de Probabilidade por uma Visão Frequentista, Tese de Mestrado, PUC, São Paulo, 1994.

DIENES, Z., As Seis Etapas do Processo de Aprendizagem em Matemática, Ed. Herder, 1972.

KESSELRING, T., Jean Piaget, Ed. Vozes, 1993.

HENRY, M., Introduction à la Théorie des Probabilités et à son Enseignement, in: Reperés – IREM, No. 14, IREM, 1994 .

SILVA FILHO, H., Uma Proposta do Ensino da Probabilidade no Nível Médio, Projeto Final de Curso de Licenciatura em Matemática, UERJ, Rio de Janeiro, 1999.

TROMPLER, S., "Statistics and Probability before the age of 15 at Decroly School", Teaching Statistics, vol. 4, No. 1, pp. 5-8, January 1982.